Cuestiones teóricas de Fundamentos de Ingeniería Eléctrica (II)

Alterna

Ondas y fasores

Sea un vector \vec{A}(t) de módulo constante A que gira a una velocidad constante \omega desde una posición inicial \varphi_0. El giro de dicho vector describe una circunferencia de radio A como la de la figura.

 

La proyección de dicho vector giratorio sobre el eje horizontal es una onda de amplitud A y de frecuencia angular \omega, a(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0). Asimismo, la proyección sobre el eje vertical es otra onda, desfasada respecto a la primera un ángulo de 90^\circ, es decir, van en cuadratura, b(t)=A~\mathrm{sen}(\omega t+\varphi_0). Si se considera que el vector es la representación de un número complejo en un plano complejo, el eje horizontal pasa a ser el eje real y el eje vertical será el eje imaginario, de esta manera:

    \[\hat{A}(t)=a+bj=A\cos(\omega t+\varphi_0)+A~\mathrm{sen}(\omega t+\varphi_0)j\]

en coordenadas cartesianas, o bien:

    \[\hat{A}(t)=A\angle (\omega t+\varphi_0)=A e^{j(\omega t+\varphi_0)}\]

en coordenadas polares como módulo y argumento o según la notación de Euler.

Cualquier onda, pues, puede ser representada a partir de un número complejo, en el caso del coseno se toma la parte real:

    \[a(t)=Re\{\hat{A}(t)\}=A\cos(\omega t+\varphi_0)\]

Veamos qué utilidad tiene este tipo de representación, supongamos que queremos sumar dos ondas a_1(t)=A_1\cos(\omega t+\varphi_1) y a_2(t)=A_2\cos(\omega t+\varphi_2). Si representamos las ondas según su relación con el campo complejo:

    \[a_1(t)+a_2(t)=Re\{\hat{A}_1(t)\}+Re\{\hat{A}_2(t)\}=Re\{\hat{A}_1(t)+\hat{A}_2(t)\}\]

    \[a_1(t)+a_2(t)=Re\{A_1 e^{j(\omega t+\varphi_1)}+A_2 e^{j(\omega t+\varphi_2)}\}\]

sacando factor común e^{j\omega t},

    \[a_1(t)+a_2(t)=Re\{e^{j\omega t}(A_1 e^{j\varphi_1}+A_2 e^{j\varphi_2})\}\]

En definitiva, la suma de dos ondas se ha reducido a la suma de dos números complejos cuyos módulos son las amplitudes de las ondas y sus argumentos son los desfases de dichas ondas. Si se hace la siguiente transformación,

    \[a_1(t)\rightarrow A_1 e^{j\varphi_1}\qquad a_2(t)\rightarrow A_2 e^{j\varphi_2}\]

cualquier operación que se haga con las ondas equivale a la misma operación con complejos. Se está transformando una función en el dominio del tiempo por una función en dominio de la frecuencia porque es más sencillo operar en este último. A los números complejos resultantes de la transformación se les llama fasores,

    \[\mathbf{A_1}=A_1 e^{j\varphi_1}\qquad \mathbf{A_2}=A_2 e^{j\varphi_2}\]

    \[a_1(t)+a_2(t)\rightarrow\mathbf{A_1}+\mathbf{A_2}\]

Impedancias

Resistencias

La Ley de Ohm para tensiones e intensidades que dependen del tiempo es v(t)=R\cdot i(t). Si esas señales son dos ondas,

    \[V\cos(\omega t +\varphi_v)=R\cdot I\cos(\omega t +\varphi_i)\]

Si se hace la transformación de onda a fasor v(t)\rightarrow\mathbf{V} e i(t)\rightarrow\mathbf{I}, esa ecuación queda,

    \[\mathbf{V}=R\cdot\mathbf{I}\]

que, a su vez, corresponde a dos ecuaciones, por un lado V=R\cdot I, es decir, la amplitud de la onda de tensión es la amplitud de la onda de corriente multiplicada por la resistencia, y por otro, \varphi_v=\varphi_i, es decir, la onda de tensión va en fase con la onda de corriente. La representación fasorial de dichas relaciones se puede hacer en el plano complejo de la siguiente manera:

Bobinas

En este caso, la relación entre tensión e intensidad es una derivada,

    \[v(t)=L\cdot\frac{di(t)}{dt}\]

Si se sustituyen la tensión y la corriente por ondas, siendo v(t)=V\cos(\omega t +\varphi_v) e i(t)=I\cos(\omega t +\varphi_i) se obtiene la siguiente relación

    \[V\cos(\omega t +\varphi_v)=L\omega I(-\mathrm{sen}(\omega t +\varphi_i))\]

o bien

    \[V\cos(\omega t +\varphi_v)=L\omega I\cos(\omega t +\varphi_i+\pi/2)\]

transformando las ondas a fasores, se obtiene

    \[\mathbf{V}=jL\omega \mathbf{I}\]

La variable compleja j representa el desfase de \pi/2 del coseno de la intensidad. Esto hace que la relación entre tensión y corriente ya no sea un parámetro real sino complejo. Una bobina almacena energía en forma de campo magnético que desfasa la corriente respecto de la tensión haciendo que ésta se retrase. En efecto, si se escribe la relación de módulos y argumentos de esa ecuación compleja se obtiene V=L\omega I y \varphi_v=\varphi_i+\pi/2. Y si se dibuja el diagrama fasorial, se puede ver que la corriente va retrasada respecto de la tensión.

Al cociente entre tensión y corriente se le llama impedancia. Es un número complejo que se mide en ohmios y que además depende de la frecuencia. La impedancia de una bobina es

    \[\hat{Z}_L=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}=jL\omega\]

Condensadores

En el caso de los condensadores pasa algo parecido. La relación entre intensidad y tensión es, de nuevo, una derivada,

    \[i(t)=C\cdot\frac{dv(t)}{dt}\]

Se hace la misma sustitución de la tensión y la corriente por ondas, siendo v(t)=V\cos(\omega t +\varphi_v) e i(t)=I\cos(\omega t +\varphi_i) para llegar a

    \[I\cos(\omega t +\varphi_i)=C\omega V(-\mathrm{sen}(\omega t +\varphi_v))\]

o bien

    \[I\cos(\omega t +\varphi_i)=C\omega V\cos(\omega t +\varphi_v+\pi/2)\]

transformando las ondas a fasores, se obtiene

    \[\mathbf{I}=jC\omega \mathbf{V}\]

Un condensador almacena energía en forma de campo eléctrico haciendo que la tensión se desfase de la corriente. La ecuación compleja es en este caso I=C\omega V y \varphi_i=\varphi_v+\pi/2. Y si se dibuja el diagrama fasorial, se puede ver que la corriente va adelantada respecto de la tensión.

La impedancia de un condensador es

    \[\hat{Z}_C=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}=\frac{1}{jC\omega}=-\frac{j}{C\omega}\]

Impedancia

En general, cuando se tienen resistencias, bobinas y condensadores, la impedancia tendrá una parte real, debida a las resistencias y una parte imaginaria debida a los elementos que almacenan energía

    \[\hat{Z}=R+jX\]

donde X es la reactancia y puede ser inductiva o capacitiva X_L=L\omega, X_C=-1/C\omega, respectivamente.

La misma ecuación puesta en coordenadas polares es \hat{Z}=Z\angle\varphi, donde \varphi es el ángulo que forman la parte real e imaginaria de la impedancia. Además, este ángulo es el desfase entre la tensión y la intensidad

    \[\hat{Z}=\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}}\qquad Z=\frac{V}{I}\qquad \varphi=\varphi_v-\varphi_i\]

Circuito resonante serie

La impedancia correspondiente a un circuito que tiene una resistencia R, una inductancia L y una capacidad C en serie, \hat{Z}=R+j(X_L+X_C), tendrá un módulo y un argumento dado por

    \[Z=\sqrt{R^2+(X_L+X_C)^2}\qquad \varphi=\arctan\left(\frac{X_L+X_C}{R}\right)\]

o bien,

    \[Z=\sqrt{R^2+\left(L\omega-\frac{1}{C\omega}\right)^2}\qquad \varphi=\arctan\left(\frac{L\omega-\frac{1}{C\omega}}{R}\right)\]

En las siguientes gráficas se dibuja el módulo y el ángulo de la impedancia en función de la frecuencia.

En las ecuaciones, se puede ver que existe una frecuencia para la cual la parte imaginaria de la impedancia es cero, es decir, es puramente resistiva. En la gráfica, esa frecuencia ocurre a 1 rad/s ya que el argumento es de 0^\circ; además, el módulo de la impedancia es mínimo ya que sólo tiene parte real. La frecuencia a la que ocurre esta curiosa circunstancia es la frecuencia de resonancia \omega_0.

    \[L\omega_0-\frac{1}{C\omega_0}=0 \qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\]

Carácter capacitivo

Cuando la frecuencia es inferior a la frecuencia de resonancia, \omega<\omega_0, la impedancia tiene carácter capacitivo; se puede ver que el argumento de la impedancia, en ese caso, es negativo. El diagrama fasorial de tensiones y corriente tiene la siguiente forma suponiendo que la tensión de la impedancia \mathbf{V} es el origen de fases. La corriente debe ser capacitiva por lo que va adelantada a la tensión de la impedancia. La tensión en la resistencia \mathbf{V_R} debe de ir en fase con la corriente. La tensión en la bobina \mathbf{V_L}, debe ir adelantada 90^\circ respecto a la corriente y la tensión en el condensador \mathbf{V_C} debe ir retrasada 90^\circ respecto a la corriente por la impedancia. La suma de las tres tensiones debe ser \mathbf{V}=\mathbf{V_R}+\mathbf{V_L}+\mathbf{V_C}. Al ser un circuito capacitivo, la tensión en el condensador es mayor a la de la bobina. Nótese que las tensiones de la bobina y del condensador son contrarias, van desfasadas 180^\circ.

Carácter resistivo

Por otro lado, cuando la frecuencia es igual a la frecuencia de resonancia, \omega=\omega_0, la corriente va en fase con la tensión de la impedancia, la tensión en la resistencia es la misma que la tensión en la impedancia, por ello, las tensiones en la bobina y el condensador, son iguales V_L=V_C en módulo, pero no en argumento. Sumándo los fasores de estas tensiones sale cero.

Carácter inductivo

Finalmente, cuando la frecuencia es mayor a la frecuencia de resonancia, \hat{Z} tiene un carácter inductivo. En este caso, la intensidad va retrasada con respecto a la tensión y la tensión en la bobina es mayor a la tensión en el condensador.