Cuestiones teóricas de Fundamentos de Ingeniería Eléctrica (I)

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Resistencias en serie y divisor de tensión

Aplicando la Ley de Ohm a las resistencias R_1 y R_2 se pueden calcular las caídas de tensión V_1=I\cdot R_1 y V_2=I\cdot R_2. Parece evidente que la tensión de la fuente debe ser igual a la suma de tensiones en las resistencias si se aplica la segunda Ley de Kirchhoff, de modo que V=V_1+V_2 o bien V=I\cdot R_1+I\cdot R_2. Como la corriente que circula por las dos resistencias es la misma, la intensidad se puede sacar factor común por lo que V=I\cdot (R_1+ R_2). En este caso, se dice que las resistencias están en serie y se pueden sumar para obtener una resistencia equivalente R=R_1+R_2. Por lo tanto, dos o más resistencias están en serie cuando circula por ellas la misma corriente.

Las tensiones en las resistencias se pueden poner en función de la tensión de la fuente:

    \[I=\frac{V}{R_1+R_2}\]

    \[V_1=I\cdot R_1=V\frac{R_1}{R_1+R_2}\]

    \[V_2=I\cdot R_2=V\frac{R_2}{R_1+R_2}\]

Cualquiera de las tensiones V_1 y V_2 son menores que V por lo que dicho circuito se puede utilizar para reducir la tensión de la fuente a tensiones inferiores: es un divisor de tensión.

Resistencias en paralelo y divisor de corriente

De nuevo, aplicando la Ley de Ohm, las corrientes por las resistencias se pueden calcular como I_1=V\cdot G_1 y I_2=V\cdot G_2. Aplicando la primera Ley de Kirchhoff, I=I_1+I_2, por lo que I=V\cdot G_1+V\cdot G_2. Como la tensión es la misma en las dos resistencias, I=V\cdot (G_1+G_2). En este caso, se dice que las resistencias están en paralelo y la conductancia equivalente se puede obtener como la suma de las conductancias de las resistencias G=G_1+G_2. Dos o más resistencias están en paralelo cuando la tensión entre sus extremos es la misma. Si G=G_1+G_2:

    \[\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\]

Luego, para dos resistencias, se puede deducir que la resistencia equivalente es:

    \[R=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\]

Las corrientes por las resistencias se pueden poner en función de la tensión:

    \[V=\frac{I}{G_1+G_2}\]

    \[I_1=V\cdot G_1=I\frac{G_1}{G_1+G_2}\]

    \[I_2=V\cdot G_2=I\frac{G_2}{G_1+G_2}\]

Cualquiera de las corrientes que circulan por las resistencias son menores que la corriente de la fuente, por ello, este circuito se llama divisor de corriente. Se puede observar que la corriente que circula por R_1 es directamente proporcional a la conductancia G_1, de modo que si la conductancia es pequeña (resistencia grande) circulará poca corriente por ella. Lo mismo pasa con la resistencia R_2. En el caso particular de un divisor de corriente con dos resistencias en paralelo, las ecuaciones quedan:

    \[I_1=I\frac{R_2}{R_1+R_2}\]

    \[I_2=I\frac{R_1}{R_1+R_2}\]

Ahora, las corrientes son proporcionales a la resistencia de la otra rama, de esta manera, si la resistencia de la rama contraria es grande, la corriente que circula por la rama de interés será también grande.

Equivalencia de fuentes reales y equivalente de Thévenin y Norton

En general, cualquier circuito entre dos puntos A y B se puede sustituir por una fuente de tensión real o una fuente de corriente real. Supongamos que queremos sustituir una fuente real de tensión (circuito de la izquierda de la figura) por una fuente de corriente real (circuito de la derecha). Las condiciones que se tienen que cumplir son:

  1. La tensión entre los puntos A y B, V_{AB}, debe ser la misma en los dos circuitos. Lo más sencillo es suponer que no hay nada conectado entre A y B, es decir, en circuito abierto.
  2. Al unir A y B, la intensidad que circula por el cortocircuito debe ser la misma en los dos casos.

De la primera condición se deduce que V_{AB}=V_s en la fuente de tensión y V_{AB}=I_p\cdot R_p en la fuente de corriente, luego:

    \[V_s=I_p\cdot R_p\]

Es decir, el valor de la fuente de tensión se puede poner en función de la fuente de corriente.

De la segunda condición, I_{AB}=V_s/R_s en la fuente de tensión e I_{AB}=I_p en la fuente de corriente, de modo que:

    \[I_p=\frac{V_s}{R_s}\]

Como las dos condiciones deben satisfacerse simultáneamente, se deduce que R_s=R_p.

 

De la misma manera, se puede sustituir cualquier circuito entre los puntos A y B, representado por una caja cerrada, por su equivalente en fuente de tensión real o equivalente Thévenin. Las condiciones que se deben cumplir son las mismas que antes:

  1. La tensión en circuito abierto del circuito de la derecha debe ser la misma que la tensión en circuito abierto de la izquierda. Por lo tanto, se calcula la tensión V_{AB} en el circuito de la derecha por cualquier método (mallas, nodos, reducción, Leyes…) y la tensión de Thévenin es V_{th}=V_{AB}.
  2. Se cortocircuita el circuito de la derecha entre A y B y se calcula la intensidad de cortocircuito I_N por cualquier método. Se hace lo mismo en el circuito de la izquierda y entonces I_N=V_{th}/R_{th} por lo que la resistencia de Thévenin se puede calcular como:

    \[R_{th}=\frac{V_{th}}{I_N}\]

El equivalente en fuente de corriente o equivalente Norton se puede puede obtener a partir del Thévenin mediante la equivalencia de fuentes reales.

Se puede comprobar que al pasivar el circuito de la izquierda eliminando la fuente independiente sólo queda R_{th}. Alternativamente, existe otro método para calcular la resistencia Thévenin pasivando el circuito de la derecha e igualando la resistencia entre A y B a la resistencia de Thévenin, R_{th}=R_{AB}.

Finalmente, si el circuito de derecha tiene alguna fuente dependiente o no es sencillo reducir las resistencias a una sola R_{AB}, será necesario conectar una fuente de prueba de valor conocido V al circuito pasivo y calcular la intensidad I que da esa fuente. En este caso,

    \[R_{th}=\frac{V}{I}\]

Si la fuente de prueba es de corriente, será necesario calcular la tensión entre sus extremos.